在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距為2，且點(diǎn)（
2
，
6
2
）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)A，B分別是橢圓C的左右頂點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓C上異于點(diǎn)A，B的任意一點(diǎn)，直線AP交于點(diǎn)M，設(shè)直線OM，PB的斜率分別為k1，k2，求證：k1•k2為定值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）利用橢圓C的焦距為2，可得a2-b2=1，根據(jù)點(diǎn)（
2
，
6
2
）在橢圓C上，求出參數(shù)a，b，即可求出橢圓C的方程；
（Ⅱ）證明：法1：由條件可得直線PB的方程，代入橢圓方程，求出P的坐標(biāo)，可得PA的方程，令x=2，得y=-
3
k2
，即M(2，-
3
k2
)，即可證明結(jié)論；法2：利用斜率的計(jì)算公式、三點(diǎn)共線的斜率性質(zhì)、點(diǎn)在橢圓上的性質(zhì)即可證明；
解答： （Ⅰ）解：∵橢圓C的焦距為2，
∴c=1，∴a2-b2=1①--（2分）
又點(diǎn)(
2
，
6
2
)在橢圓C上⇒
2
a2
+
3
2b2
=1②--（4分）
聯(lián)立①②得a2=4，b2=3，或a2=
1
2
＜1（會(huì)去）
故橢圓C的方程：
x2
4
+
y2
3
=1．--（6分）
（Ⅱ）證明：法1：由條件可得直線PB的方程為：y=k2（x-2），設(shè)P（xP，yP）．
由
y=k2(x-2)
x2
4
+
y2
3
=1
，得(3+4k22)x2-16k22x+16k22-12=0（*）--（8分）
易知xP，2為（*）方程的兩根，則2xP=
16
k
2
2
-12
3+4
k
2
2
，
∴xP=
8
k
2
2
-6
3+4
k
2
2
，yP=
-12k2
3+4
k
2
2
，
則kPA=
-12k2
3+4
k
2
2
8
k
2
2
-6
3+4
k
2
2
+2
=-
3
4k2
．--（10分）
故直線PA的方程為：y=-
3
4k2
(x+2)．
令x=2，得y=-
3
k2
，即M(2，-
3
k2
)，則k1=
-
3
k2
2
=-
3
2k2
，∴k1k2=-
3
2
．--（12分）
法2：P（xP，yP）（xp≠±2），M（2，yM），則k2=
yP
xP-2
，且
xP2
4
+
yP2
3
=1．
又A，P，M三點(diǎn)共線，則
AP
∥
AM
．
∵
AP
=(xP+2，yP)，
AM
=(4，yM)，
∴4yP=yM(xP+2)⇒yM=
4y P
xP+2
．
則k1=
2yP
xp+2
，∴k1k2=
2yP
xP2-4
=
6(1-
xP2
4
)
xP2-4
=-
3
2
．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的定義及其性質(zhì)、斜率的計(jì)算公式及其直線的點(diǎn)斜式是解題的關(guān)鍵．善于利用已經(jīng)證明過(guò)的結(jié)論是解題的技巧．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-4ax+2a+12的值域?yàn)榧螹，集合N={y|y=
x
}，M∩N=M．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求關(guān)于x的方程
x
a+2
=|a-1|+2的根的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為e=
2
2
，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+
2
=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），若過(guò)F1的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，求
F2A
•
F2B
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，橢圓G與拋物線y2=-4x有一個(gè)公共的焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（-
6
2
，1）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是橢圓G在第一象限上的任一點(diǎn)，連接PF1，PF2，過(guò)P點(diǎn)作斜率為k的直線l，使得l與橢圓G有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，試證明
1
kk1
+
1
kk2
為定值，并求出這個(gè)定值；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）問(wèn)的條件下，作F2Q⊥F2P，設(shè)F2Q交l于點(diǎn)Q，證明：當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在某定直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知M（0，
3
），N（0，-
3
），平面上一動(dòng)點(diǎn)P滿足|PM|+|PN|=4，記點(diǎn)P的軌跡為P．
（1）求軌跡P的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)E（0，1）且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l1：y=kx+b1與軌跡P相交于A，B兩點(diǎn)，若y軸上存在一點(diǎn)Q，使得直線QA，QB關(guān)于y軸對(duì)稱，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）是否存在不過(guò)點(diǎn)E（0，1），且不垂直坐標(biāo)軸的直線l，它與軌跡P及圓E：x2+（y-1）2=9從左到右依次交于C，D，F(xiàn)，G四點(diǎn)，且滿足
.
ED
-
.
EC
=
.
EG
-
.
EF
？若存在，求出當(dāng)△OCG的面積S取得最小值時(shí)k2的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若a＞0，b＞0，且2a+b=1，則S=2
ab
-（4a2+b2） 的最大值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，A，C分別是雙曲線虛軸的上下頂點(diǎn)，B是雙曲線的左頂點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，直線AB與FC相交于點(diǎn)D．若雙曲線的離心率為2，則∠BDF的余弦值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l的參數(shù)方程為：
x=-2+tcosα
y=tsinα
（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ-2cosθ．
（Ⅰ）求曲線C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）當(dāng)α=
π
4
時(shí)，求直線l與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列說(shuō)法正確的是（　　）
A、當(dāng)直線l1與l2的斜率k1，k2滿足k1•k2=-1時(shí)，兩直線一定垂直
B、直線Ax+By+C=0的斜率為-
A
B
C、過(guò)（x1，y1），（x2，y2）兩點(diǎn)的所有直線的方程
y-y1
y2-y1
=
x-x1
x2-x1
D、經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1）且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=0

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