Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4ax+2a+12的值域為集合M，集合N={y|y=

x

}，M∩N=M．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求關于x的方程

x

a+2

=|a-1|+2的根的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域,函數(shù)的零點與方程根的關系

專題：分類討論,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）先求出集合N，根據(jù)M是N的子集求出a的取值范圍．
（2）在第（1）的基礎上對a進行分類討論，利用配方法求出x的取值范圍．

解答： 解：（1）∵y=

x

≥0，∴N∈[0，+∞），
又∵M∩N=M，∴M⊆N，即M⊆[0，+∞），
∴f（x）=x²-4ax+2a+12中的△=16a²-4（2a+12）≤0解得-

3

2

≤a≤2，
所以后a的取值范圍是[-

3

2

，2]．
（2）當a∈[-

3

2

，1]時，

x

a+2

=-(a-1)+2，x=-(a-

1

2

)2+

25

4

，∴x∈[

9

4

，

25

4

]，
當a∈（1，2]時，

x

a+2

=(a-1)+2，x=(a+

3

2

)2-

1

4

，∴x∈（6，12]，
所以x的取值范圍是[

9

4

，12]．

點評：一、是對二次函數(shù)解析的式中參數(shù)的討論，二、是去絕對值時要對未知參數(shù)進行討論．分類討論是高中數(shù)學的一個重點，也是一個難點．