Question

若曲線C₁：y=x²與曲線C₂：y=ae^x（a＞0）存在公切線，則a的取值范圍為（　　）

• A、[

  8

  e2

  ，+∞）
• B、（0，

  8

  e2

  ]
• C、[

  4

  e2

  ，+∞）
• D、（0，

  4

  e2

  ]

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：分別求出兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由兩函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)相等，并由斜率公式，得到由此得到m=2n-2，則4n-4=aeⁿ有解．再由導(dǎo)數(shù)即可進一步求得a的取值．

解答： 解：y=x²在點（m，m²）的切線斜率為2m，
y=ae^x在點（n，aeⁿ）的切線斜率為aeⁿ，
如果兩個曲線存在公共切線，那么：2m=aeⁿ．
又由斜率公式得到，2m=

m2-aen

m-n

，
由此得到m=2n-2，
則4n-4=aeⁿ有解．
由y=4x-4，y=ae^x的圖象有交點即可．
設(shè)切點為（s，t），則ae^s=4，且t=4s-4=ae^s，
即有切點（2，4），a=

4

e2

，
故a的取值范圍是：0＜a≤

4

e2

，
故選D．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，過曲線上某點處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．