Question

已知x²+px+q＜0的解集為{x|-2＜x＜3}，若f（x）=qx²+px+1
（1）求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若f(x)＜

a

6

恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法,一元二次不等式的應用

專題：

分析：（1）根據不等式的解集，建立條件關系，求出p，q的值，即可求不等式f（x）＞0的解集；
（2）將不等式f(x)＜

a

6

恒成立，轉化為a＞6f（x），即可求a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵求不等式x²+px+q＜0的解集為{x|-2＜x＜3}，
∴-2，3是對應方程x²+px+q=0的兩個根，
則

-2+3=-p -2×3=q

，解得

p=-1 q=-6

，
即f（x）=qx²+px+1=-6x²-x+1，
由f（x）＞0得-6x²-x+1＞0，
即6x²+x-1＜0，
（2x+1）（3x-1）＜0，
解得-

1

2

＜x＜

1

3

，
即不等式f（x）＞0的解集是（-

1

2

，

1

3

），
（2）若f(x)＜

a

6

恒成立，即球f（x）的最大值即可，
∵f（x）=-6x²-x+1=-6（x+

1

12

）²+

25

24

，
∴當x=-

1

12

時，f（x）的最大值為

25

24

，
∴要使若f(x)＜

a

6

恒成立，
則

25

24

＜

a

6

，
即a＞

25

4

，
即a的取值范圍（

25

4

，+∞）．

點評：本題主要考查不等式的解法，利用一元二次不等式的解法以及不等式和函數方程之間的關系是解決本題的關鍵．