Question

已知x²+px+q＜0的解集為{x|-2＜x＜3}，若f（x）=qx²+px+1
（1）求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若f(x)＜

a

6

恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法,一元二次不等式的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)不等式的解集，建立條件關(guān)系，求出p，q的值，即可求不等式f（x）＞0的解集；
（2）將不等式f(x)＜

a

6

恒成立，轉(zhuǎn)化為a＞6f（x），即可求a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵求不等式x²+px+q＜0的解集為{x|-2＜x＜3}，
∴-2，3是對應(yīng)方程x²+px+q=0的兩個(gè)根，
則

-2+3=-p -2×3=q

，解得

p=-1 q=-6

，
即f（x）=qx²+px+1=-6x²-x+1，
由f（x）＞0得-6x²-x+1＞0，
即6x²+x-1＜0，
（2x+1）（3x-1）＜0，
解得-

1

2

＜x＜

1

3

，
即不等式f（x）＞0的解集是（-

1

2

，

1

3

），
（2）若f(x)＜

a

6

恒成立，即球f（x）的最大值即可，
∵f（x）=-6x²-x+1=-6（x+

1

12

）²+

25

24

，
∴當(dāng)x=-

1

12

時(shí)，f（x）的最大值為

25

24

，
∴要使若f(x)＜

a

6

恒成立，
則

25

24

＜

a

6

，
即a＞

25

4

，
即a的取值范圍（

25

4

，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查不等式的解法，利用一元二次不等式的解法以及不等式和函數(shù)方程之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．