Question

已知函數(shù)f（x）=（1-x）e^x-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）設(shè)g(x)=

f(x)

x

，x＞-1且x≠0，證明：g（x）＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和最值之間的關(guān)系，即可求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）利用函數(shù)的 單調(diào)性，證明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=-xe^x．
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴f（x）的最大值為f（0）=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，g（x）＜0＜1．
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g（x）＜1等價(jià)于設(shè)f（x）＞x．
設(shè)h（x）=f（x）-x，
則h′（x）=-xe^x-1．
當(dāng)x∈（-1，-0）時(shí)，0＜-x＜1，0＜e^x＜1，
則0＜-xe^x＜1，
從而當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在（-1，0]單調(diào)遞減．
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，h（x）＞h（0）=0，
即g（x）＜1．
綜上，總有g(shù)（x）＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．