Question

已知f（x）、g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），f（x）=a^xg（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，則關(guān)于x的方程abx²+

2

x+

5

2

=0（b∈（0，1））有兩個(gè)不同實(shí)根的概率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系求出a的值，然后利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=a^xg（x），
∴

f(x)

g(x)

=ax，
∵f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
∴[

f(x)

g(x)

]′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＜0，
即函數(shù)

f(x)

g(x)

=ax，單調(diào)遞減，即0＜a＜1．
又

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，
則a+

1

a

=

5

2

，解得a=

1

2

．
∵關(guān)于x的方程abx²+

2

x+

5

2

=0（b∈（0，1））有兩個(gè)不同實(shí)根，
∴△=2-10ab＞0，即0＜b＜

2

5

，
∴根據(jù)幾何概型的概率公式可知所求的概率P=

2 5 -0

1-0

=

2

5

，
故答案為：

2

5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出a的值是解決本題的關(guān)鍵．