【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax+ ,其中a>0.
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)證明:(1+ )(1+ )(1+ )…(1+ )<e (n∈N* , n≥2).
【答案】解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞), f′(x)= ,令h(x)=﹣ax2+x﹣a,
記△=1﹣4a2 , 當(dāng)△≤0時(shí),得a≥ ,
若a≥ ,則﹣ax2+x﹣a≤0,f′(x)≤0,
此時(shí)函數(shù)f(x)在(0,+∞)遞減,
當(dāng)0<a< 時(shí),由﹣ax2+x﹣a=0,解得:x1= ,x2= ,
顯然x1>x2>0,故此時(shí)函數(shù)f(x)在( , )遞增,
在(0, )和( ,+∞)遞減;
綜上,0<a< 時(shí),函數(shù)f(x)在( , )遞增,
在(0, )和( ,+∞)遞減,
a≥ 時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)遞減;
(Ⅱ)證明:令a= ,由(Ⅰ)中討論可得函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)遞減,
又f(1)=0,從而當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),有f(x)<0,即lnx< x﹣ ,
令x=1+ (n≥2),
則ln(1+ )< (1+ )﹣ =
= ( + )< = ( ﹣ ),
從而:ln(1+ )+ln(1+ )+ln(1+ )+…+ln(1+ )
< (1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ + ﹣ )
= (1+ ﹣ ﹣ )< (1+ )= ,
則有l(wèi)n(1+ )+ln(1+ )+ln(1+ )+…+ln(1+ )< ,
可得(1+ )(1+ )(1+ )…(1+ )<e (n∈N* , n≥2)
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(Ⅱ)求出lnx< x﹣ ,令x=1+ (n≥2),得到ln(1+ )< ( ﹣ ),累加即可證明結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A. ,y R,若x+y 0,則x 且y
B.a R,“ ”是“a>1”的必要不充分條件
C.命題“ x R,使得 ”的否定是“ R,都有 ”
D.“若 ,則a<b”的逆命題為真命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且a、b、c成等比數(shù)列,c= bsinC﹣ccosB.
(Ⅰ)求B的大;
(Ⅱ)若b=2 ,求△ABC的周長和面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是東西方向的公路北側(cè)的邊緣線,某公司準(zhǔn)備在上的一點(diǎn)的正北方向的處建一倉庫,并在公路同側(cè)建造一個(gè)正方形無頂中轉(zhuǎn)站(其中邊在上),現(xiàn)從倉庫向和中轉(zhuǎn)站分別修兩條道路,,已知,且,設(shè),.
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式;
(2)如果中轉(zhuǎn)站四周圍墻(即正方形周長)造價(jià)為萬元,兩條道路造價(jià)為萬元,問:取何值時(shí),該公司建中轉(zhuǎn)圍墻和兩條道路總造價(jià)最低?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率為 ,點(diǎn)B是橢圓C的上頂點(diǎn),點(diǎn)Q在橢圓C上(異于B點(diǎn)).
(Ⅰ)若橢圓V過點(diǎn)(﹣ , ),求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l:y=kx+b與橢圓C交于B、P兩點(diǎn),若以PQ為直徑的圓過點(diǎn)B,證明:存在k∈R, = .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中提到了一種名為“芻甍”的五面體(如圖)面 為矩形,棱 .若此幾何體中, , 和 都是邊長為 的等邊三角形,則此幾何體的表面積為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|3x﹣4|.
(Ⅰ)記函數(shù)g(x)=f(x)+|x+2|﹣4,在下列坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)的圖象,并根據(jù)圖象求出函數(shù)g(x)的最小值;
(Ⅱ)記不等式f(x)<5的解集為M,若p,q∈M,且|p+q+pq|<λ,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
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