Question

已知

a

=（sinx，-cosx），

b

=（cosx，

3

cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

+

3

2

．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)0≤x≤

π

2

時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算法則、倍角公式、兩角和差的正弦公式、周期性、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）當(dāng)0≤x≤

π

2

時(shí)，可得-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得-

3

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1，即可得到函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

a

•

b

+

3

2

=sinxcosx-

3

cos2x+

3

2

=

1

2

sin2x-

3 (1+cos2x)

2

+

3

2

=sin(2x-

π

3

)，
∴T=

2π

2

=π．
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），解得

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ](k∈Z)；
（2）當(dāng)0≤x≤

π

2

時(shí)，-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴-

3

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1，
∴函數(shù)f（x）的值域是[-

3

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算法則、倍角公式、兩角和差的正弦公式、周期性、正弦函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．