Question

已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}的前10項(xiàng)和S₁₀=55，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足bn=an+2n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，列出方程組能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）推導(dǎo)出bn=an+2n=n+2ⁿ，由此利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ） 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵等差數(shù)列{a_n}的前10項(xiàng)和S₁₀=55，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列．
∴

10a1+ 10×9d 2 =55 (a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)

⇒

2a1+9d=11 d2-a1d=0

，
∵d≠0，∴d=a₁
∴2a₁+9a₁=11，解得a₁=1，d=1
∴a_n=1+（n-1）=n．
（Ⅱ）∵a_n=n，
∴bn=an+2n=n+2ⁿ，
∴T_n=（1+2+3+…+n）+（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=

n(n+1)

2

+

2(1-2n )

1-2

=2ⁿ⁺¹+

n2+n

2

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．