Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c在x=1及x=2時取得極值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值是-7．求c的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由導(dǎo)函數(shù)f'（x）=6x²+6ax+3b，且函數(shù)f（x）在x=1及x=2取得極值，則有f'（1）=0，f'（2）=0．從而a=-3，b=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x³-9x²+12x+8c，f'（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．通過討論函數(shù)的單調(diào)性，從而得到當x=1時，f（x）取得極大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．則當x∈[0，3]時，f（x）的最大值為f（3）=9+8c=-7．進而求出c=-2．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=6x²+6ax+3b，
∵函數(shù)f（x）在x=1及x=2取得極值，
則有f'（1）=0，f'（2）=0．
即

6+6a+3b=0 24+12a+3b=0

，
解得a=-3，b=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x³-9x²+12x+8c，
f'（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
當x∈（0，1）時，f'（x）＞0；
當x∈（1，2）時，f'（x）＜0；
當x∈（2，3）時，f'（x）＞0．
∴當x=1時，f（x）取得極大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．
則當x∈[0，3]時，f（x）的最大值為f（3）=9+8c=-7．
∴c=-2．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．