Question

在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、Q分別為線段BD₁、CC₁上的動(dòng)點(diǎn)，則PQ的最小值為（　�。�

• A、

  2

• B、

  3

  3

• C、

  3

• D、

  2

  2

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專(zhuān)題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：欲求PQ的最小值，只須找出PQ是BD₁與CC₁垂的公垂線即可，可由四邊形EFMC是矩形→PQ⊥CC₁．由PQ⊥面DBD₁→PQ⊥BD₁．然后求出最小值．

解答： 解：當(dāng)P、Q分別為線段BD₁、CC₁上的中點(diǎn)，取BD中點(diǎn)M．
連接MC，PM，
∵P為BD₁中點(diǎn)，
∴PM∥D₁D且PM=

1

2

D₁D．
又QC

1

2

CC₁且QC⊥MC，
∴四邊形QPMC是矩形
∴PQ⊥CC₁．又PM⊥面DBD₁．
∴PQ⊥面DBD₁．
∵BD₁?面DBD₁．∴PQ⊥BD₁．
故PQ為BD₁與CC₁的公垂線．
∴PQ=MC=

2

2

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間異面直線的距離的求法，找出異面直線的公垂線是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力和推理能力．