Question

已知函數(shù)f（x）=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

．
（1）當k=2時，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）對定義域內(nèi)的任意x都有|f（x）-1|≤k成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用換元法，結(jié)合基本不等式，可求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）分類討論，分離參數(shù)，即可求k的取值范圍．

解答： 解：（1）當k=2時，f（x）=1+

2x

4x+2x+1

，
設(shè)t=2^x＞0，則y=1+

1

t+ 1 t +1

，
∵t＞0，∴t+

1

t

≥2，
∴0＜

1

t+ 1 t +1

≤

1

3

，
∴1＜y≤

4

3

，
∴函數(shù)f（x）的最大值為

4

3

；
（2）k=1時顯然成立；
k≠1時，對定義域內(nèi)的任意x都有|f（x）-1|≤k成立，則

k

|k-1|

≥

2x

4x+2x+1

對定義域內(nèi)的任意x都成立，
∴

k

|k-1|

≥

1

3

，
∴-3k≤k-1≤3k，k≠1，
∴k≥

1

4

且k≠1．
綜上，k≥

1

4

．

點評：本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查函數(shù)恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵．