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【題目】如果關于x的方程 正實數解有且僅有一個,那么實數a的取值范圍為(
A.{a|a≤0}
B.{a|a≤0或a=2}
C.{a|a≥0}
D.{a|a≥0或a=﹣2}

【答案】B
【解析】解:由函數解析式可得:x≠0,如果關于x的方程 有且僅有一個正實數解,即方程ax3﹣3x2+1=0有且僅有一個正實數解,
構造函數f(x)=ax3﹣3x2+1,則函數f(x)的圖象與x正半軸有且僅有一個交點.
又∵f'(x)=3x(ax﹣2)
①當a=0時,代入原方程知此時僅有一個正數解 滿足要求;
②當a>0時,則得f(x)在(﹣∞,0)和( ,+∞)上單調遞增,在(0, )上單調遞減,
f(0)=1,知若要滿足條件只有x= 時,f(x)取到極小值0,x= 入原方程得到正數解a=2,滿足要求;
③當a<0時,同理f(x)在(﹣∞, )和(0,+∞)上單調遞減,在( ,0)上單調遞增
f(0)=1>0,所以函數f(x)的圖象與x軸的正半軸有且僅有一個交點,滿足題意
綜上:a≤0或a=2.
所以答案是:B.

練習冊系列答案
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4

2

3

5

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49

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39

54

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⑤函數f(x)在區(qū)間(﹣ , 0)上是減函數.
其中所有正確的命題的序號個數是( 。
A.2
B.3
C.4
D.5

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A.2
B.4
C.6
D.8

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