已知G是三角形ABC的重心，過G的直線分別交直線AB，AC于M，N兩點，
AB
=m
AM
，
AC
=n
AN
，（m，n都是正數(shù)），
1
m
+
2
n
的最小值是（　�。�
A、2
B、3
C、1
D、1+
2
2
3
考點：平面向量的基本定理及其意義
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：由于M，N，G三點共線，利用向量共線定理可得：存在實數(shù)λ使得
AG
=λ
AM
+(1-λ)
AN
，利用
AB
=m
AM
，
AC
=n
AN
，（m，n都是正數(shù)），可得
AG
=
λ
m
AB
+
1-λ
n
AC
．由于G是三角形ABC的重心，可得
AG
=
1
3
AB
+
1
3
AC
．根據(jù)平面向量基本定理可得
λ
m
=
1
3
1-λ
n
=
1
3
，化為m+n=3．再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．
解答： 解：如圖所示，
設(shè)D是BC的中點．
∵M(jìn)，N，G三點共線，
∴存在實數(shù)λ使得
AG
=λ
AM
+(1-λ)
AN
，
∵
AB
=m
AM
，
AC
=n
AN
，（m，n都是正數(shù)），
∴
AG
=
λ
m
AB
+
1-λ
n
AC
，
∵G是三角形ABC的重心，
∴
AG
=
2
3
AD
=
2
3
×
1
2
(
AB
+
AC
)=
1
3
AB
+
1
3
AC
．
∴
λ
m
=
1
3
1-λ
n
=
1
3
，化為m+n=3．
又m，n為正數(shù)，
∴
1
m
+
2
n
=
1
3
(m+n)(
1
m
+
2
n
)=
1
3
(3+
n
m
+
2m
n
)≥
1
3
(3+2
n
m
•
2m
n
)=1+
2
2
3
，當(dāng)且僅當(dāng)n=
2
m=3(
2
-1)時取等號．
∴
1
m
+
2
n
的最小值是1+
2
2
3
．
故選：D．
點評：本題考查了向量共線定理、三角形的重心定理、向量的平行四邊形法則、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其中f（1）=0，且當(dāng)x＞0時，有
xf′(x)-f(x)
x2
＞0，則不等式f（x）＞0的解集是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1是一個水平擺放的小正方體木塊，圖2、圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)逐個疊放下去，那么在第七個疊放的圖形中小正方體木塊數(shù)應(yīng)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

復(fù)數(shù)z=i（1+i）（i是虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)
.
z
在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（　�。�
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a=2011，b=1，則sinA：sinB等于（　　）
A、1：1B、1：2011
C、2011：1D、不確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線3x+y-3=0與直線6x+my+1=0平行，則m的值為（　�。�
A、2B、-2C、18D、-18

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且a：b：c=
3
：1：2，則角B為（　�。�
A、30°B、60°
C、90°D、120°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知AD、BE分別是△ABC的邊BC，AC上的中線，且
AD
=
a
，
BE
=
b
，則
BC
=（　　）
A、
1
3
a
+
2
3
b
B、
2
3
a
+
1
3
b
C、
2
3
a
+
4
3
b
D、
4
3
a
+
2
3
b

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知|
a
|=2，|
b
|≠0，且函數(shù)f（x）=
1
3
x3+
1
2
|
a
|x2+
a
•
b
x在R上有極值，則
a
與
b
的夾角范圍為（　�。�
A、[0，
π
6
）
B、（
π
3
，π]
C、（
π
3
，
π
2
]
D、（
π
6
，π]

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