Question

5．若實數(shù)a和b滿足a²+4b²=1，則$\frac{2ab}{|a|+2|b|}$的最大值為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{5}}{15}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 利用基本不等式求出|ab|的取值范圍，然后利用 $\frac{2ab}{|a|+2|b|}$=$\frac{2ab}{\sqrt{1+4|ab|}}$≤$\frac{2|ab|}{\sqrt{1+4|ab|}}$進行求解即可．

解答 解：a²+4b²=1≥4|ab|．
∴|ab|≤$\frac{1}{4}$．
∵a²+4b²=（|a|+2|b|）²-4|ab|=1．
∴$\frac{2ab}{|a|+2|b|}$=$\frac{2ab}{\sqrt{1+4|ab|}}$≤$\frac{2|ab|}{\sqrt{1+4|ab|}}$=$\sqrt{\frac{{4（ab）}^{2}}{1+4|ab|}}$=$\sqrt{\frac{4}{{（\frac{1}{|ab|}+2）}^{2}-4}}$，
∵|ab|≤$\frac{1}{4}$，∴$\frac{1}{|ab|}$≥4，
∴$\frac{2ab}{|a|+2|b|}$的最大值為 $\sqrt{\frac{4}{32}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故選：B．

點評 本題主要考查了基本不等式，同時考查了計算能力和轉(zhuǎn)化的思想，屬于基礎(chǔ)題．