Question

過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓P：交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（ ）
A．
B．4
C．2
D．

Answer 1

【答案】分析：由題意可得四邊形ABCD面積等于，當AC和BD中，有一條直線的斜率不存在時，求得四邊形ABCD面積等于
2．當AC和BD的斜率都存在時，設AC的方程為y=kx，BD方程為y=-x．y=kx代入橢圓的方程化簡，利用根與系數的關系及弦長公式求得AC的值，同理求得BD的值，化簡  為，再利用基本不等式
求得它的最小值，綜合可得結論．
解答：解：由題意可得四邊形ABCD的對角線互相垂直，且四個頂點在橢圓上，且a=，b=1．
四邊形ABCD面積等于．
當AC和BD中，有一條直線的斜率不存在時，AC和BD的長度分別為2a和 2b，
四邊形ABCD面積等于=2ab=2×1=2．
當AC和BD的斜率都存在時，設AC的方程為y=kx，BD方程為y=-x．
把y=kx代入橢圓的方程化簡為（2k²+1）x²-2=0，∴x_A+x_C=0，．
∴AC=•|x_A-x_C|=•=2 ．
同理求得 BD=2，
∴=4 ===
=≥=4×=，當且僅當時，取等號．
綜上可得，四邊形ABCD面積的最小值等于．
故選：A．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，兩條直線垂直的性質，基本不等式的應用，體現了分類討論的數學思想，
屬于中檔題．