Question

已知圓x²+y²+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0相交于P、Q兩點(diǎn)，若A（-2，0）且AP⊥AQ，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：綜合題,直線與圓

分析：先將直線與圓的方程聯(lián)立，得到5y²-20y+12+m=0，再由韋達(dá)定理分別求得y₁+y₂=4，y₁•y₂=

12+m

5

．又因?yàn)镺P⊥OQ，轉(zhuǎn)化為x₁•x₂+y₁•y₂+2（x₁+x₂）+=0求解即可．

解答： 解：設(shè)P、Q的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由AP⊥AQ可得：

AP

⊥

AQ

，即

AP

•

AQ

=0，
因?yàn)锳（-2，0）
所以x₁•x₂+y₁•y₂+2（x₁+x₂）+4=0．
由x+2y-3=0得x=3-2y代入x²+y²+x-6y+m=0
化簡(jiǎn)得：5y²-20y+12+m=0，
所以y₁+y₂=4，y₁•y₂=

12+m

5

．
所以x₁•x₂+y₁•y₂+2（x₁+x₂）+4=（3-2y₁）•（3-2y₂）+y₁•y₂+2[6-2（y₁+y₂）]+4
=25-10（y₁+y₂）+5y₁•y₂
=25-10×4+5×

12+m

5

=m-3=0
解得：m=3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系其其方程的應(yīng)用，應(yīng)用了韋達(dá)定理，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，是常考題型，屬中檔題．