Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+x² （a為實常數(shù)）．
（1）當a=-4時，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值及相應的x值；
（2）當x∈[1，e]時，討論方程f（x）=0根的個數(shù)．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）把a=-4代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)的零點把給出的定義[1，e]分段，判出在各段內(nèi)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)在[1，e]上的最大值及相應的x值；
（2）把原函數(shù)f（x）=alnx+x²求導，分a≥0和a＜0討論打哦函數(shù)的單調(diào)性，特別是當a＜0時，求出函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及端點處的函數(shù)值，然后根據(jù)最小值和F（e）的值的符號討論在x∈[1，e]時，方程f（x）=0根的個數(shù)．

解答： 解：（1）當a=-4時，f（x）=-4lnx+x²，
函數(shù)的定義域為（0，+∞）．
∴f′(x)=-

4

x

+2x
令f'（x）=0得，x=

2

或x=-

2

舍去．
∵x∈[1，

2

)時，f'（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）在[1，

2

)上為減函數(shù)，在(

2

，e]上為增函數(shù)，
由f（1）=-4ln1+1²=1，f（e）=-4lne+e²=e²-4，
∴函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值為e²-4，相應的x值為e；
（2）由f（x）=alnx+x²，得
f′(x)=

a

x

+2x
若a≥0，則在[1，e]上f′（x）＞0，函數(shù)f（x）=alnx+x²在[1，e]上為增函數(shù)，
由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的個數(shù)是0；
若a＜0，由f′（x）=0，得x=

-2a

2

或x=-

-2a

2

（舍去）
若

-2a

2

≤1，即-2≤a＜0，f（x）=alnx+x²在[1，e]上為增函數(shù)，
由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的個數(shù)是0；
若

-2a

2

≥e，即a≤-2e²，f（x）=alnx+x²在[1，e]上為減函數(shù)，
由f（1）=1，f（e）=alne+e²=e²+a≤-e²＜0，
∴方程f（x）=0在[1，e]上有1個實數(shù)根；
若1＜

-2a

2

＜e，即-2e²＜x＜-2，
f（x）在[1，

-2a

2

）上為減函數(shù)，在[

-2a

2

，e]上為增函數(shù)，
由f（1）=1＞0，f（e）=e²+a．
f（x）_min=f（

-2a

2

）
=aln

-2a

2

+（

-2a

2

）^2
=

a

2

[ln(-

a

2

)-1]．
當-

a

2

＜e，即-2e＜a＜-2時，f（

-2a

2

）＞0，方程f（x）=0的根的個數(shù)是0；
當a=-2e時，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個數(shù)是1；
當-e²≤a＜-2e時，f（

-2a

2

）＜0，f（e）=a+e²≥0，方程f（x）=0的根的個數(shù)是2；
當-2e²＜a＜-e²時f（

-2a

2

）＜0，f（e）=a+e²＜0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個數(shù)是1．

點評：本題考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查了根的存在性及根的個數(shù)的判斷，考查了分類討論的數(shù)學思想方法和數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，訓練了構(gòu)造函數(shù)求變量的取值范圍，此題是有一定難度題目．