Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+x² （a為實(shí)常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=-4時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值及相應(yīng)的x值；
（2）當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，討論方程f（x）=0根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）把a(bǔ)=-4代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)把給出的定義[1，e]分段，判出在各段內(nèi)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)在[1，e]上的最大值及相應(yīng)的x值；
（2）把原函數(shù)f（x）=alnx+x²求導(dǎo)，分a≥0和a＜0討論打哦函數(shù)的單調(diào)性，特別是當(dāng)a＜0時(shí)，求出函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及端點(diǎn)處的函數(shù)值，然后根據(jù)最小值和F（e）的值的符號(hào)討論在x∈[1，e]時(shí)，方程f（x）=0根的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-4時(shí)，f（x）=-4lnx+x²，
函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．
∴f′(x)=-

4

x

+2x
令f'（x）=0得，x=

2

或x=-

2

舍去．
∵x∈[1，

2

)時(shí)，f'（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）在[1，

2

)上為減函數(shù)，在(

2

，e]上為增函數(shù)，
由f（1）=-4ln1+1²=1，f（e）=-4lne+e²=e²-4，
∴函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值為e²-4，相應(yīng)的x值為e；
（2）由f（x）=alnx+x²，得
f′(x)=

a

x

+2x
若a≥0，則在[1，e]上f′（x）＞0，函數(shù)f（x）=alnx+x²在[1，e]上為增函數(shù)，
由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)是0；
若a＜0，由f′（x）=0，得x=

-2a

2

或x=-

-2a

2

（舍去）
若

-2a

2

≤1，即-2≤a＜0，f（x）=alnx+x²在[1，e]上為增函數(shù)，
由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)是0；
若

-2a

2

≥e，即a≤-2e²，f（x）=alnx+x²在[1，e]上為減函數(shù)，
由f（1）=1，f（e）=alne+e²=e²+a≤-e²＜0，
∴方程f（x）=0在[1，e]上有1個(gè)實(shí)數(shù)根；
若1＜

-2a

2

＜e，即-2e²＜x＜-2，
f（x）在[1，

-2a

2

）上為減函數(shù)，在[

-2a

2

，e]上為增函數(shù)，
由f（1）=1＞0，f（e）=e²+a．
f（x）_min=f（

-2a

2

）
=aln

-2a

2

+（

-2a

2

）^2
=

a

2

[ln(-

a

2

)-1]．
當(dāng)-

a

2

＜e，即-2e＜a＜-2時(shí)，f（

-2a

2

）＞0，方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)是0；
當(dāng)a=-2e時(shí)，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個(gè)數(shù)是1；
當(dāng)-e²≤a＜-2e時(shí)，f（

-2a

2

）＜0，f（e）=a+e²≥0，方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)是2；
當(dāng)-2e²＜a＜-e²時(shí)f（

-2a

2

）＜0，f（e）=a+e²＜0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個(gè)數(shù)是1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了構(gòu)造函數(shù)求變量的取值范圍，此題是有一定難度題目．