Question

某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下四個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)．
（1）sin²12°+sin²48°+sin12°sin48°
（2）sin²15°+sin²45°+sin15°sin45°
（3）sin²（-12°）+sin²72°+sin（-12°）sin72°
（4）sin²（-15°）+sin²75°+sin（-15°）sin75°
（Ⅰ）試從上述四個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)
（Ⅱ） 根據(jù)（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣成三角恒等式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的正弦,歸納推理

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）選擇（2），由sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-

1

2

sin30°=

3

4

，可得這個(gè)常數(shù)的值．
（Ⅱ）推廣，得到三角恒等式sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

．直接利用兩角差的余弦公式代入等式的左邊，化簡(jiǎn)可得結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）選擇（2），計(jì)算如下：
sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-

1

2

sin30°=

3

4

，故這個(gè)常數(shù)為

3

4

．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣，得到三角恒等式sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

．
證明：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）
=sin²α+(

3

2

cosα+

1

2

sinα)2-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=sin²α+

3

4

cos²α+

1

4

sin²α+

3

2

sinαcosα-

3

2

sinαcosα-

1

2

sin²α=

3

4

sin²α+

3

4

cos²α=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角差的余弦公式，二倍角公式的應(yīng)用，考查歸納推理以及計(jì)算能力，屬于中檔題．