Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（ax﹣1）e2x+x+1（其中e為自然對數(shù)的e底數(shù)）．
（1）若a=0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=0時(shí)，f（x）=﹣e2x+x+1，f′（x）=﹣2e2x+1，

由f′（x）=0，解得x=﹣ ，

當(dāng)x∈（﹣∞，﹣ ）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（﹣ ，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，﹣ ），單調(diào)減區(qū)間為（﹣ ，+∞）．

（2）解：f′（x）=（2ax﹣2+a）e2x+1，令g（x）=（2ax﹣2+a）e2x+1，

則g′（x）=4（ax﹣1+a）e2x，

①若a≥1，當(dāng)x∈（0，+∞），g′（x）＞0，從而g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增且g（0）=a﹣1≥0，

∴x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）＞0即f′（x）＞0，從而f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增且f（0）=0，

∴x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＞0恒成立，符合題意．

②若a≤0，則x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＜0恒成立，

∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，則g（x）＜g（0）=a﹣1，

即x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，

∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，此時(shí)f（x）＜f（0）=0，不符合題意．

③若0＜a＜1，由g′（x）=4（ax﹣1+a）e2x=0，得x= ，且x∈（0， ），g′（x）＜0，

∴函數(shù)y=g（x）在（0， ）單調(diào)遞減．

∴x∈（0， ）時(shí)，g（x）＜g（0）=a﹣1＜0，即x 時(shí)，f′（x）＜0，

∴函數(shù)y=f（x）在（0， ）單調(diào)遞減，

∴x∈（0， ）時(shí)，f（x）＜f（0）=0，不符合題意．

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．

【解析】（1）a=0時(shí)，f′（x）=﹣2e2x+1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．（2）f′（x）=（2ax﹣2+a）e2x+1，令g（x）=（2ax﹣2+a）e2x+1，則g′（x）=4（ax﹣1+a）e2x，由此利用分類討論思想，結(jié)合導(dǎo)數(shù)應(yīng)用能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．