Question

8．已知遞增數(shù)列{a_n}滿足：a₁a₄=18，a₂+a₃=9．
（1）若{a_n}是等差數(shù)列，求{a_n}通項(xiàng)；
（2）若{a_n}是等比數(shù)列，求{a_n}前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）若{a_n}是等差數(shù)列由a₁a₄=18，a₂+a₃=a₁+a₄=9，得a₁和a₄是方程x²-9x+18=0的兩個(gè)根，解方程x²-9x+18=0，得a₁=3，a₄=6，由此能求出{a_n}通項(xiàng)．
（2）若{a_n}是等比數(shù)列，由a₁a₄=a₂a₃=18，a₂+a₃=9，得a₂和a₃是方程x²-9x+18=0的兩個(gè)根，解方程x²-9x+18=0，得a₂=3，a₃=6，由此能求出{a_n}前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（1）若{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
由數(shù)列{a_n}遞增可得d＞0，
∵a₁a₄=18，a₂+a₃=a₁+a₄=9．
∴a₁和a₄是方程x²-9x+18=0的兩個(gè)根，
解方程x²-9x+18=0，得x₁=3，x₂=6，
∵d＞0，∴a₁=3，a₄=6，$d=\frac{6-3}{4-1}$=1，
∴a_n=3+（n-1）×1=n+2．
∴{a_n}通項(xiàng)a_n=n+2．
（2）若{a_n}是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，
∵a₁a₄=a₂a₃=18，a₂+a₃=9，
∴a₂和a₃是方程x²-9x+18=0的兩個(gè)根，
解方程x²-9x+18=0，得x₁=3，x₂=6，
∵遞增數(shù)列{a_n}中q＞0，
∴a₂=3，a₃=6，q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{6}{3}$=2，${a}_{1}=\frac{{a}_{2}}{q}=\frac{3}{2}$，
∴{a_n}前n項(xiàng)和S_n=$\frac{\frac{3}{2}（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{3}{4}（{3}^{n}-1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．