Question

17．設(shè)向量$\overrightarrow a=（cosα，sinα），\overrightarrow b=（cosβ，sinβ）$，其中0＜α＜β＜π，若$|{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$，則β-α=（　　）

• A． $-\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $-\frac{π}{2}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 利用向量的模與向量數(shù)量積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算，從而得cos（β-α）=0，再由0＜α＜β＜π得結(jié)論．

解答 解：∵$|{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$，
∴${|{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}|^2}={|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|^2}⇒8\overrightarrow a•\overrightarrow b=3（{|{\overrightarrow a}|^2}-{|{\overrightarrow b}|^2}）$，
又∵$\overrightarrow a=（cosα，sinα），\overrightarrow b=（cosβ，sinβ）$，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（β-α）=0$，
∵0＜α＜β＜π，∴β-α=$\frac{π}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了兩角差的余弦，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．