Question

14．在正項數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=a_n+（$\frac{{a}_{n}}{n}$）²（n∈N^*）
（1）判斷數(shù)列{a_n}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）求證：對n∈N^*都有：$\frac{1}{3}$≤a_n＜1．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，作差證明即可；
（2）易知$\frac{1}{3}$≤a_n，再利用放縮法證明a_n＜1即可．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，證明如下，
∵a_n+1=a_n+（$\frac{{a}_{n}}{n}$）²，
∴a_n+1-a_n=（$\frac{{a}_{n}}{n}$）²＞0，
∴數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列；
（2）證明：∵數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，
又∵a₁=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$≤a_n，
①a₁=$\frac{1}{3}$＜1，
②a₂=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$=$\frac{4}{9}$＜1，
③a₃=$\frac{4}{9}$+$\frac{4}{81}$=$\frac{40}{81}$＜1，
④假設(shè)a_n＜1，
則a_n+1=a₁+$\frac{{（a}_{1}）^{2}}{{1}^{2}}$+$\frac{（{a}_{2}）^{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{（{a}_{n-1}）^{2}}{（n-1）^{2}}$+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$
=a₁+$\frac{1}{9}$+$\frac{4}{81}$+…+$\frac{（{a}_{n-1}）^{2}}{（n-1）^{2}}$+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$
＜$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{4}{81}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n-1）^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$
＜$\frac{40}{81}$+$\frac{1}{2•3}$+…+$\frac{1}{（n-2）（n-1）}$+$\frac{1}{n（n-1）}$
＜$\frac{40}{81}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$＜1；
故$\frac{1}{3}$≤a_n＜1．

點評 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性的判斷與證明，同時考查了放縮法與裂項求和法的應(yīng)用．