Question

5．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象與y軸的交點為（0，1），它在y軸右側(cè)的第一個最高點和第一個最低點的坐標分別為（x₀，2）和（x₀+2π，-2）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式； 
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3π，3π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象求出A，T，求出ω，圖象經(jīng)過（0，1），求出φ，然后求f（x）的解析式．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：[4kπ-$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z，又x∈[-3π，3π]，即可得解函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3π，3π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）解：（1）由題意可得：A=2，$\frac{T}{2}$=2π，T=4π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{4π}$=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+φ），
∴f（0）=2sinφ=1，
由|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$．
∴函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）．
（2）∵由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：[4kπ-$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z，
又∵x∈[-3π，3π]，
∴解得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3π，3π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為：$[{-\frac{4}{3}π，\frac{2}{3}π}]和[{\frac{8}{3}π，3π}]$．

點評 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查計算能力，視圖能力，屬于基礎題．