Question

3．已知集合A={x|（x+3）（6-x）≤0}，B={x|log₂（x+2）＜4}．
（1）求A∩∁_RB；
（2）已知C={x|2a＜x＜a+1}（a∈R），若C⊆B，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）解一元二次不等式，求出A，解對數不等式求出B，進而可求A∩∁_RB；
（2）由C={x|2a＜x＜a+1}，C⊆B，分C=∅和C≠∅兩種情況，討論滿足條件的a的取值范圍，最后綜合討論結果，可得答案．

解答 解：（1）由集合A={x|（x+3）（6-x）≤0}={x|x≤-3或x≥6}，B={x|log₂（x+2）＜4}={x|-2＜x＜14}．
得∁_UB={x|x≤-2或x≥14}，
則A∩∁_RB={x|x≤-3或x≥6}∩{x|x≤-2或x≥14}=（-∞，-3]∪[14，+∞）；
（2）∵C={x|x＞2a且x＜a+1}，（a∈R），C⊆B，
∴①2a≥a+1，即a≥1時，C=∅成立；  
②2a＜a+1，即a＜1時，C=（2a，a+1）⊆（-2，14），
則 $\left\{\begin{array}{l}{a+1≤14}\\{2a≥-2}\end{array}\right.$，
解得-1≤a＜1．
綜上所述，a的取值范圍為[-1，+∞）．

點評 本題考查的知識點是集合的交集，并集，補集運算，難度不大，屬于基礎題．