Question

8．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosa}\\{y=2+tcosa}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)，a為直線l的傾斜角），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ
（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程
（2）直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，設(shè)P（4，2）．求|PM|+|PN|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系式$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$，可將曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方程．
（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與曲線C的普通方程，消去x與y，得到關(guān)于t的一元二次方程，寫出|PM|+|PN|關(guān)于t及α的表達(dá)式，利用韋達(dá)定理及α的范圍，可探求|PM|+|PN|的取值范圍．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，
∴ρ²=4ρcosθ，
∴x²+y²=4x，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+y²=4．
（2）∵直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosa}\\{y=2+tcosa}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)，a為直線l的傾斜角），
∴將l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$代入x²+y²=4x中，
得t²+4（sinα+cosα）t+4=0，
由題意有△=16（sinα+cosα）²-16＞0，
得sinα•cosα＞0，∵0≤α＜π，∴sinα＞0，且cosα＞0，從而0＜α＜$\frac{π}{2}$．
設(shè)點(diǎn)M，N對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
由韋達(dá)定理，得t₁+t₂=-4（sinα+cosα）＜0，t₁•t₂=4＞0，
∴t₁＜0，且t₂＜0，
∴|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=-t₁-t₂=4（sinα+cosα）=4$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）．
由0＜α＜$\frac{π}{2}$，得$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{3π}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}＜sin（α+\frac{π}{4}）≤1$，
故|PM|+|PN|的取值范圍是（4，4$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評 極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，一般通過兩邊同時平方，兩邊同時乘以ρ等方式，構(gòu)造或湊配ρ²，ρcosθ，ρsinθ，再利用互化公式轉(zhuǎn)化．常見互化公式有ρ²═x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，tanθ=$\frac{y}{x}$等．對于曲線C與直線l的相交問題，一般是聯(lián)立曲線與直線的方程，消去相應(yīng)的變量，再利用韋達(dá)定理求解．