Question

函數(shù)f（x）=3sin（20°+x）+5sin（x+80°）的值域為

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用兩角和的正弦可求得sin（x+80°）=sin[（x+20°）+60°]=

1

2

sin（20°+x）+

3

2

cos（20°+x），再利用輔助角公式可得f（x）=7sin（20°+x+φ），于是可得其值域．

解答： 解：∵sin（x+80°）=sin[（x+20°）+60°]
=

1

2

sin（20°+x）+

3

2

cos（20°+x），
∴f（x）=3sin（20°+x）+5sin（x+80°）
=3sin（20°+x）+[

5

2

sin（20°+x）+

5 3

2

cos（20°+x）]
=

11

2

sin（20°+x）+

5 3

2

cos（20°+x）
=

( 11 2 )2+( 5 3 2 )2

sin（20°+x+φ）
=7sin（20°+x+φ），
∴f（x）∈[-7，7]，
故答案為：[-7，7]．

點評：本題考查兩角和的正弦，著重考查三角恒等變換及其應用，求得f（x）=7sin（20°+x+φ）是關鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力，屬于中檔題．