Question

若正方形的四個(gè)頂點(diǎn)均在y=-4x³+3x的圖象上，則這樣的正方形有

 

個(gè)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：顯然該函數(shù)是奇函數(shù)，由圖象分析可知，正方形的中心應(yīng)過(guò)原點(diǎn)，且兩對(duì)角線也過(guò)原點(diǎn)且分別關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱、相互垂直，據(jù)此可設(shè)兩對(duì)角線所在直線方程為y=kx，及y=-

1

k

x，分別與函數(shù)y=-4x³+3x聯(lián)立，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩對(duì)角線長(zhǎng)度相等列出關(guān)于k的方程，判斷根的個(gè)數(shù)即可．

解答： 解：∵正方形的四個(gè)頂點(diǎn)均在y=-4x³+3x的圖象上，且該函數(shù)是奇函數(shù)，
所以正方形的中心過(guò)原點(diǎn)，由此設(shè)兩對(duì)角線所在直線方程為：y=kx，及y=-

1

k

x，
由

y=kx y=-4x3+3x

得4x²=3-k，
∴x=

3-k

2

或-

3-k

2

，且k＜3①，
將兩根代入y=kx，得正方形一條對(duì)角線兩交點(diǎn)為A（

3-k

2

，

k 3-k

2

），C（-

3-k

2

，-

k 3-k

2

）；
同理，將y=-

1

k

x代入y=-4x³+3x得4x²=3+

1

k

，k＞0或k＜-

1

3

②，
x=

1

2

3+ 1 k

或-

1

2

3+ 1 k

，分別代入y=-

1

k

x得B（

1

2

3+ 1 k

，-

1

2k

3+ 1 k

），D（-

1

2

3+ 1 k

，

1

2k

3+ 1 k

），
根據(jù)|OA|=|OB|得

3-k

4

+

k2(3-k)

4

=

1

4

(3+

1

k

)+

1

4k2

(3+

1

k

)，
整理得（

k2+1

k

）

k2-k-1

k

•

k2-2k-1

k

=0，
∴k²-k-1=0，或k²-2k-1=0
易知，這兩個(gè)方程的兩根之積都為-1，且根都滿足條件①②，
∴符合題意的正方形有2個(gè)．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題充分利用該函數(shù)的奇偶性以及正方形的對(duì)稱性，分析出正方形的中心是原點(diǎn)，且對(duì)角線互相垂直相等，通過(guò)列方程求k是解本題的關(guān)鍵，而由已知得到k應(yīng)滿足的范圍，則是問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)．