Question

已知a∈Z，關于x的一元二次不等式x²-6x+a≤0的解集中有且僅有3個整數，則所有符合條件的a的值之和是

 

．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：由關于x的一元二次不等式x²-6x+a≤0的解集中有且僅有3個整數，可得△=36-4a＞0，即a＜9．設x²-6x+a=0的兩個實數解為x₁，x₂．則|x₂-x₁|＜4，解出即可．

解答： 解：∵關于x的一元二次不等式x²-6x+a≤0的解集中有且僅有3個整數，
∴△=36-4a＞0，解得a＜9．
由x²-6x+a=0解得x=

6± 36-4a

2

=3±

9-a

．
∴3-

9-a

≤x≤3+

9-a

，
∵關于x的一元二次不等式x²-6x+a≤0的解集中有且僅有3個整數，
∴2

9-a

＜4，
解得a＞5．
∴5＜a＜9．
∵a∈Z，
∴a=6，7，8．
∴所有符合條件的a的值之和是21．
故答案為：21．

點評：本題考查了有特殊要求的一元二次不等式的解法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．