Question

已知a∈Z，關(guān)于x的一元二次不等式x²-6x+a≤0的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則所有符合條件的a的值之和是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由關(guān)于x的一元二次不等式x²-6x+a≤0的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，可得△=36-4a＞0，即a＜9．設(shè)x²-6x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為x₁，x₂．則|x₂-x₁|＜4，解出即可．

解答： 解：∵關(guān)于x的一元二次不等式x²-6x+a≤0的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，
∴△=36-4a＞0，解得a＜9．
由x²-6x+a=0解得x=

6± 36-4a

2

=3±

9-a

．
∴3-

9-a

≤x≤3+

9-a

，
∵關(guān)于x的一元二次不等式x²-6x+a≤0的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，
∴2

9-a

＜4，
解得a＞5．
∴5＜a＜9．
∵a∈Z，
∴a=6，7，8．
∴所有符合條件的a的值之和是21．
故答案為：21．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了有特殊要求的一元二次不等式的解法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．