Question

已知f（x）=sin2x+2sin²x．
（I）求f（

π

4

）的值；
（Ⅱ）設(shè)θ∈（0，π），f（

θ

2

）=

4

5

，求tanθ的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（I）直接根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式直接代入即可求f（

π

4

）的值；
（Ⅱ）設(shè)θ∈（0，π），f（

θ

2

）=

4

5

，建立條件關(guān)系即可求tanθ的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x-cos2x+1，
∴f(

π

4

)=sin

π

2

-cos

π

2

+1=2．
（Ⅱ）∵f（

θ

2

）=sinθ-cosθ+1=

4

5

，
∴sinθ-cosθ=-

1

5

，平方得2sinθcosθ=

24

25

＞0，
∵θ∈（0，π），∴θ∈（0，

π

2

），
則（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=

49

25

，
∴sinθ+cosθ=

7

5

，解得sinθ=

3

5

，cosθ=

4

5

，
則tanθ=

sinθ

cosθ

=

3

4

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)求值問題，利用三角函數(shù)的同角的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．