Question

10．某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1t需耗A種礦石10t，B種礦石5t，煤4t；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1t需耗A種礦石4t，B種礦石4t，煤9t．每1t甲種產(chǎn)品的利潤是600元，每1t乙種產(chǎn)品的利潤是1000元．工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中要求消耗A種礦石不超過300t，B種礦石不超過200t，煤不超過360t．甲、乙兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少（精確到0.1t），能使利潤總額達(dá)到最大？

Answer 1

分析 設(shè)分別生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品x噸，y噸，利潤總額為z=600x+1000y元，即y=-$\frac{3}{5}$x$+\frac{z}{1000}$，列出不等式組，作出平面區(qū)域，找到目標(biāo)函數(shù)截距取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)代入利潤公式即可．

解答 解：設(shè)分別生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品x噸，y噸，利潤總額為z元，則z=600x+1000y，
其中，$\left\{\begin{array}{l}{10x+4y≤300}\\{5x+4y≤200}\\{4x+9y≤360}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，作出平面區(qū)域如圖，


∵z=600x+1000y，
∴y=-$\frac{3}{5}$x$+\frac{z}{1000}$，
故當(dāng)直線y=-$\frac{3}{5}$x$+\frac{z}{1000}$經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)，截距最大，即z最大．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{4x+9y=360}\\{5x+4y=200}\end{array}\right.$得x≈12.4，y≈34.5．
將x=12.4，y=34.5代入z=600x+1000y得z=41940．
∴生產(chǎn)甲種產(chǎn)品12.4t，乙種產(chǎn)品34.5t時(shí)所獲利潤最大，最大利潤為41940元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性規(guī)劃在生活中的應(yīng)用，尋求題目中的不等關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，計(jì)算量較大，是中檔題．