Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，且QB⊥AD．
（Ⅰ）求證：PB⊥BC；
（Ⅱ）若點(diǎn)M在PC上，且

PM

MC

=

1

2

，求三棱錐C-MQB與四棱錐P-ABCD的體積之比．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：證明題

分析：（Ⅰ）由PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，得PQ⊥AD，又QB⊥AD，得到AD⊥平面QPB，再由BC∥AD，可得BC⊥面PQB，從而證明BC⊥PB．
（Ⅱ）不難得出PQ⊥面PBQ，設(shè)M到面ABCD的距離為h，則有

h

PQ

=

2

3

，得到

VC-MQB

VP-ABCD

=

VM-QBC

VP-ABCD

=

1 6 SABCD•h

1 3 SABCD•PQ

，再代入計(jì)算即可．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，
∴PQ⊥AD，PQ∩QB=Q，
∴AD⊥平面QPB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，
∴BC⊥面PQB，
∴BC⊥PB．
（Ⅱ）由于面PAD⊥面ABCD，且PQ⊥AD，
∴PQ⊥面PBQ，
∴PQ的長(zhǎng)即為四棱錐P-ABCD的高，
設(shè)M到面ABCD的距離為h，
則由

PM

MC

=

1

2

知，

h

PQ

=

2

3

，
∴h=

2

3

PQ．
設(shè)四邊形ABCD的面積為S，
∴V_C-MQB=V_M-QBC=

1

3

×

1

2

Sh=

1

9

S•PQ，
∴

VC-MQB

VP-ABCD

=

1 6 Sh

1 3 S•PQ

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)立體幾何的綜合考查，涉及到點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系和立體幾何中的計(jì)算問題，特別是計(jì)算體積時(shí)，“轉(zhuǎn)化”是我們常見的方法，常見的有等體積法，割補(bǔ)法等等．