Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，Q為AD的中點，且QB⊥AD．
（Ⅰ）求證：PB⊥BC；
（Ⅱ）若點M在PC上，且

PM

MC

=

1

2

，求三棱錐C-MQB與四棱錐P-ABCD的體積之比．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：證明題

分析：（Ⅰ）由PA=PD，Q為AD的中點，得PQ⊥AD，又QB⊥AD，得到AD⊥平面QPB，再由BC∥AD，可得BC⊥面PQB，從而證明BC⊥PB．
（Ⅱ）不難得出PQ⊥面PBQ，設M到面ABCD的距離為h，則有

h

PQ

=

2

3

，得到

VC-MQB

VP-ABCD

=

VM-QBC

VP-ABCD

=

1 6 SABCD•h

1 3 SABCD•PQ

，再代入計算即可．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA=PD，Q為AD的中點，
∴PQ⊥AD，PQ∩QB=Q，
∴AD⊥平面QPB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，
∴BC⊥面PQB，
∴BC⊥PB．
（Ⅱ）由于面PAD⊥面ABCD，且PQ⊥AD，
∴PQ⊥面PBQ，
∴PQ的長即為四棱錐P-ABCD的高，
設M到面ABCD的距離為h，
則由

PM

MC

=

1

2

知，

h

PQ

=

2

3

，
∴h=

2

3

PQ．
設四邊形ABCD的面積為S，
∴V_C-MQB=V_M-QBC=

1

3

×

1

2

Sh=

1

9

S•PQ，
∴

VC-MQB

VP-ABCD

=

1 6 Sh

1 3 S•PQ

=

1

3

．

點評：本題是對立體幾何的綜合考查，涉及到點、線、面的位置關系和立體幾何中的計算問題，特別是計算體積時，“轉化”是我們常見的方法，常見的有等體積法，割補法等等．