Question

已知數(shù)列{a_n}中的相鄰兩項(xiàng)a_2k-1、a_2k是關(guān)于x的方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的兩個(gè)根，且a_2k-1≤a_2k（k∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₃，a₅，a₇及寫出a_2n（n∈N^*且n≥4）（不必證明）；
（Ⅱ）對(duì)于任意n∈N^*且n≥4，猜想a_2n與（2n）²的大小關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）首先因式分解求得方程的兩根，由條件a_2k-1≤a_2k寫出當(dāng)k=1，2，3，4時(shí)相鄰兩項(xiàng)，
（Ⅱ）n取值進(jìn)行計(jì)算，即可猜想a_2n與（2n）²的大小關(guān)系．

解答： 解：（Ⅰ）方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的兩個(gè)根為x1=3k，x2=2k．
當(dāng)k=1時(shí)，x₁=3，x₂=2，所以a₁=2；   當(dāng)k=2時(shí)，x₁=6，x₂=4，所以a₃=4；
當(dāng)k=3時(shí)，x₁=9，x₂=8，所以a₅=8；  當(dāng)k=4時(shí)，x₁=12，x₂=16，所以a₇=12；
因?yàn)閚≥4時(shí)，2ⁿ＞3n，所以a2n=2n(n≥4)…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)n=4時(shí)，a2n=24=16 ＜ 82 =(2n)2；   
當(dāng)n=5時(shí)，a2n=25=32 ＜ 102 =(2n)2；
當(dāng)n=6時(shí)，a2n=26=64 ＜ 122 =(2n)2；   
當(dāng)n=7時(shí)，a2n=27=128 ＜ 142 =(2n)2；
當(dāng)n=8時(shí)，a2n=28=256 = 162 =(2n)2；   
當(dāng)n=9時(shí)，a2n=29=512 ＜ 182 =(2n)2；
所以猜想：當(dāng)4≤n＜7時(shí)，a2n＜(2n)2；     
當(dāng)n=8時(shí)，a2n=(2n)2；
當(dāng)n≥9時(shí)，a2n＞(2n)2；…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)，考查運(yùn)算及推理能力．對(duì)于此類問題要認(rèn)真審題、冷靜解析，加上扎實(shí)的基本功就可以解決問題．