Question

已知數(shù)列{a_n}中的相鄰兩項a_2k-1、a_2k是關(guān)于x的方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的兩個根，且a_2k-1≤a_2k（k∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₃，a₅，a₇及寫出a_2n（n∈N^*且n≥4）（不必證明）；
（Ⅱ）對于任意n∈N^*且n≥4，猜想a_2n與（2n）²的大小關(guān)系．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）首先因式分解求得方程的兩根，由條件a_2k-1≤a_2k寫出當(dāng)k=1，2，3，4時相鄰兩項，
（Ⅱ）n取值進行計算，即可猜想a_2n與（2n）²的大小關(guān)系．

解答： 解：（Ⅰ）方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的兩個根為x1=3k，x2=2k．
當(dāng)k=1時，x₁=3，x₂=2，所以a₁=2；   當(dāng)k=2時，x₁=6，x₂=4，所以a₃=4；
當(dāng)k=3時，x₁=9，x₂=8，所以a₅=8；  當(dāng)k=4時，x₁=12，x₂=16，所以a₇=12；
因為n≥4時，2ⁿ＞3n，所以a2n=2n(n≥4)…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)n=4時，a2n=24=16 ＜ 82 =(2n)2；   
當(dāng)n=5時，a2n=25=32 ＜ 102 =(2n)2；
當(dāng)n=6時，a2n=26=64 ＜ 122 =(2n)2；   
當(dāng)n=7時，a2n=27=128 ＜ 142 =(2n)2；
當(dāng)n=8時，a2n=28=256 = 162 =(2n)2；   
當(dāng)n=9時，a2n=29=512 ＜ 182 =(2n)2；
所以猜想：當(dāng)4≤n＜7時，a2n＜(2n)2；     
當(dāng)n=8時，a2n=(2n)2；
當(dāng)n≥9時，a2n＞(2n)2；…（12分）

點評：本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識，考查運算及推理能力．對于此類問題要認真審題、冷靜解析，加上扎實的基本功就可以解決問題．