Question

邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，沿BD折成直二面角，過點A作PA⊥平面ABC，且AP=2

3

．
（Ⅰ）求證：PA∥平面DBC；
（Ⅱ）求三棱錐P-ACD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）取BD的中點O，連接CO，可得等邊△BCD中O⊥BD．根據(jù)面面垂直判定定理，由平面DBC⊥平面ABD證出CO⊥平面ABD，結(jié)合PA⊥平面ABD可得CO∥PA，最后根據(jù)線面平面的判定定理，即可證出PA∥平面DBC；
（II）根據(jù)題意，得O、A、P、C四點共面，因此連接AO并延長交PC的延長線于H．利用三棱錐P-ACD的體積為V_D-PAC，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：取BD的中點O，連接CO，則
等邊△BCD中，可得CO⊥BD．　　　
又∵平面DBC⊥平面ABD，平面DBC∩平面ABD=BD，
CO?平面DBC，CO⊥BD
∴CO⊥平面ABD．　　　　　　　 
又∵AP⊥平面ABD，∴CO∥PA．　　　　　　 
∵CO?平面DBC，PA?平面DBC
∴PA∥平面DBC．　
（Ⅱ）解：∵CO∥PA，
∴O、A、P、C四點共面．
連接AO并延長交PC的延長線于H．
由題意，DO⊥平面ACO，CO=

3

，
∵AP=2

3

，∴S_△PAC=

1

2

•2

3

•

3

=3，
∴三棱錐P-ACD的體積為V_D-PAC=

1

3

•3•

3

2

=

3

2

．

點評：本題給出平面折疊問題，求證線面平行并求三棱錐P-ACD的體積，著重考查了線面平行的判定定理和三棱錐P-ACD的體積求法等知識，屬于中檔題．