Question

6．為了解某市高三學(xué)生身高（單位：cm）情況，對(duì)全市高三學(xué)生隨機(jī)抽取1000人進(jìn)行了測(cè)量，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到如圖的頻率分布直方圖（其中身高的分組區(qū)間分別為[150，160），[160，170），[170，180），[180，190]）
（1）求a的值；
（2）在所抽取的1000人中，用分層抽樣的方法在身高[170，190]中抽取一個(gè)容量為4的樣本，將該樣本看作一個(gè)整體，從中任意抽取2人，求這兩人的身高恰好落在區(qū)間[170，180）的概率；
（3）若該市高三有20000人，根據(jù)此次測(cè)量統(tǒng)計(jì)結(jié)果，估算身高在區(qū)間[160，180）的人數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由各組頻率之和，即頻率分布直方圖中各組矩形的面積和為1，可得a的值；
（2）根據(jù)分層抽樣的原則，可得在身高[170，190]中抽取一個(gè)容量為4的樣本，則身高[170，180）中應(yīng)抽取3人，身高[180，190]中應(yīng)抽取1人，求出抽取的方法總數(shù)和滿足條件的抽法數(shù)，代入古典概型概率計(jì)算公式，可得答案；
（3）根據(jù)身高在區(qū)間[160，180）的頻率，可估算出身高在區(qū)間[160，180）的人數(shù)．

解答 解：（1）由（0.030+0.050+a+0.005）×10=1得：
a=0.015；
（2）身高[170，180）中的頻率為：0.015×10=0.15，
身高[180，190]中的頻率為：0.005×10=0.05，
兩組的頻率比為：0.15：0.05=3：1，
在所抽取的1000人中，用分層抽樣的方法在身高[170，190]中抽取一個(gè)容量為4的樣本，
則身高[170，180）中應(yīng)抽取3人，身高[180，190]中應(yīng)抽取1人，
從中任意抽取2人，共有${C}_{4}^{2}$=6種抽法，
其中這兩人的身高恰好落在區(qū)間[170，180）共有${C}_{3}^{2}$=3種抽法，
故這兩人的身高恰好落在區(qū)間[170，180）的概率P=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
（3）身高在區(qū)間[160，180）頻率為：（0.050+0.015）×10=0.65，
由20000×0.65=13000得：
身高在區(qū)間[160，180）的人數(shù)約為13000人．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是頻率分布直方圖，古典概型概率計(jì)算公式，用樣本估計(jì)總體，難度不大，屬于基礎(chǔ)題目．