Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有∠MD₁D=∠BD₁D，則動(dòng)點(diǎn)M在平面BCC₁B₁內(nèi)的轉(zhuǎn)跡是（　　）

• A、圓的一部分
• B、橢圓的一部分
• C、雙曲線的一部分
• D、拋物線的一部分

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,空間位置關(guān)系與距離

分析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的一部分．

解答： 解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=1，M（x，1，z），D（0，0，0），D₁（0，0，1）B（1，1，0），
∴

D1B

=（1，1，-1），

D1D

=（0，0，-1），

D1M

=（x，1，z-1），
∵∠MD₁D=∠BD₁D＜

π

2

，
∴cos∠MD₁D=cos∠BD₁D，
∴

(z-1)•(-1)

x2+1+(z-1)2

=

1

3

，
整理，得x²-2z²+4z=1，（0＜x＜1，0＜z＜1），
∴點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的一部分．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．