Question

8．已知頂點在原點，焦點在y軸上的拋物線被直線x-2y-1=0截得的弦長為$\sqrt{15}$，求此拋物線方程．

Answer 1

分析 設拋物線的方程為x²=2py，與直線x-2y-1=0聯(lián)立，利用弦長公式，即可求拋物線的方程．

解答 解：設直線與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設拋物線的方程為x²=2py，與直線x-2y-1=0聯(lián)立，消去y得x²-px+p=0，則x₁+x₂=p，x₁•x₂=p．
|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$•$\sqrt{{p}^{2}-4p}$=$\sqrt{15}$，
化簡可得p²-4p-12=0，∴p=6或-2，
∴x²=12y或x²=-4y．

點評 本題主要考查拋物線標準方程，簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．