Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+2=0相切，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 寫出圓的方程，利用直線與圓相切的充要條件列出方程求出b的值，利用橢圓的離心率公式得到a，c的關(guān)系，再利用橢圓本身三個(gè)參數(shù)的關(guān)系求出a，c的值，從而可得橢圓的方程．

解答 解：由題意可得圓的方程為x²+y²=b²，
∵直線x-y+2=0與圓相切，
∴d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=b，即b=$\sqrt{2}$，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即a=$\sqrt{3}$c，
∵a²=b²+c²，
∴a=$\sqrt{3}$，c=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．