Question

如圖，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，G是AC中點，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求三棱錐C-BGF的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）運用線面垂直的性質(zhì)和判定，即可得證；
（Ⅱ）由線面垂直的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，可得到F為中點，由中位線定理得到FG的長，由線面垂直的性質(zhì)定理，得到FG⊥平面BCF，再由體積轉(zhuǎn)換得到三棱錐C-BGF的體積等于三棱錐G-BCF的體積，由體積公式即可得到．

解答： （I）證明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，則AE⊥BC
又∵BF⊥平面ACE，則AE⊥BF，
又BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）解：∵BF⊥平面ACE，則BF⊥CE，
又∵BE=BC，則F為CE的中點，
又G是AC的中點，
∴由中位線定理得，AE∥FG，FG=

1

2

AE=1，
由（Ⅰ）得，AE⊥平面BCE
∴FG⊥平面BCE
即FG⊥平面BCF，
又BC⊥平面ABE，∴BC⊥BE，
又AE=EB=BC=2，即有CE=2

2

，
∴Rt△BCE中，BF=CF=

1

2

CE=

2

∴S△CFB=

1

2

•

2

•

2

=1
∴VC-BFG=VG-BCF=

1

3

•S△CFB•FG=

1

3

．

點評：本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系：平行和垂直，考查線面垂直的判定和性質(zhì)，同時考查體積轉(zhuǎn)換的思想．