Question

如圖，正方形A₁BA₂C的邊長(zhǎng)為4，D是A₁B的中點(diǎn)，E是BA₂上的點(diǎn)，將△A₁DC及△A₂EC分別沿DC和EC折起，使A₁、A₂重合于A，且平面ADC⊥平面EAC．
（Ⅰ）求證：AC⊥DE；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間角

分析：（Ⅰ）法1，利用線面垂直的性質(zhì)證明DE⊥面ACD，即可證明AC⊥DE；法2：建立坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行證明．
（Ⅱ）求出平面的法向量，根據(jù)向量之間的關(guān)系即可求二面角A-DE-C的余弦值．

解答： 證明：（Ⅰ）法1：∵A₁，A₂重合于A，
∴AC⊥AD，AC⊥AE，故AC⊥面ADE，
∴AC⊥DE，由于A-DC-E為直二面角，
過A作AF⊥CD于F，則AF⊥面CDE
∴AF⊥DE，AC∩AF=A
∴DE⊥面ACD，
∵AC?面ACD，
∴AC⊥DE，
法2：分別以AD，AE，AC為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系
D（2，0，0），E（0，2，0），C（0，0，4）
（1）∵

ED

=(2，-2，0)，

AC

=(0，0，4)，
∴

ED

•

AC

=2×0-2×0+0×4=0，
∴AC⊥DE
（Ⅱ）

EC

=(0，-2，4)，設(shè)平面DCE的法向量為

n1

=（x，y，z），
∴由

ED • n1 =2x-2y=0 EC • n1 =-2y+4z=0

，
令z=1，則x=y=2，即

n1

=（2，2，1），
又AC⊥平面ADE，
∴平面ADE的法向量為

n2

=(0，0，1)，
∴二面角A-DE-C的余弦值為cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

2×0+2×0+1×1

22+22+12•1

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的大小，直線與平面垂直的性質(zhì)，熟練掌握線線垂直，線面垂直，面面垂直之間的轉(zhuǎn)化及線面夾角的定義是解答本題的關(guān)鍵．