Question

如圖，AE是圓O的切線，A是切點(diǎn)，AD⊥OE于D，割線EC交圓O于B、C兩點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：O，D，B，C四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）設(shè)∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）連結(jié)OA，則OA⊥EA．由已知條件利用射影定理和切割線定理推導(dǎo)出

ED

BD

=

EC

EO

，由此能夠證明O，D，B，C四點(diǎn)共圓．
（Ⅱ）連結(jié)OB．∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，能求出∠OEC的大小．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)OA，則OA⊥EA．
由射影定理得EA²=ED•EO．
由切割線定理得EA²=EB•EC，
∴ED•EO=EB•EC，即

ED

BD

=

EC

EO

，
又∠OEC=∠OEC，∴△BDE∽△OCE，
∴∠EDB=∠OCE．
∴O，D，B，C四點(diǎn)共圓．…（6分）
（Ⅱ）解：連結(jié)OB．因?yàn)椤螼EC+∠OCB+∠COE=180°，
結(jié)合（Ⅰ）得：
∠OEC=180°-∠OCB-∠COE
=180°-∠OBC-∠DBE
=180°-∠OBC-（180°-∠DBC）
=∠DBC-∠ODC=20°．
∴∠OEC的大小為20°．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查四點(diǎn)共圓的證明，考查角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意射影定理、切割線定理的合理運(yùn)用．