Question

9．已知函數(shù)$f（x）={（\frac{1}{3}）^x}，x∈[{-1，1}]$，函數(shù)g（x）=f²（x）-2af（x）+3
（1）若a=1，證明：函數(shù)g（x）在區(qū)間[-1，0]上為減函數(shù)；
（2）求g（x）的最小值h（a）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性的定義即可證明．
（2）根據(jù)g（x）=f²（x）-2af（x）+3，得到函數(shù)g（x）的解析式以及定義域，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論即可求得g（x）的最小值h（a）．

解答 解：（1）a=1時，g（x）=$（\frac{1}{3}）^{2x}$-2•（$\frac{1}{3}$）^x+3，
設(shè)x₁，x₂∈[-1，0]，且x₁＜x₂，
則g（x₁）-g（x₂）=$（\frac{1}{3}）^{2{x}_{1}}$-2•$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$+3-$（\frac{1}{3}）^{2{x}_{2}}$+2•$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$-3，
=（$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$+$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$）（$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$-$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$）-2（$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$-$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$），
=（$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$-$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$）（$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$+$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$-2），
∵x₁，x₂∈[-1，0]，且x₁＜x₂，
∴$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$-$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$＞0，$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$+$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$-2＞0
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，
∴g（x₁）＞g（x₂），
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間[-1，0]上為減函數(shù)；
（2）∵g（x）=f²（x）-2af（x）+3，且函數(shù)$f（x）={（\frac{1}{3}）^x}，x∈[{-1，1}]$，
∴g（x）=$（\frac{1}{3}）^{2x}$-2a•（$\frac{1}{3}$）^x+3=[（$\frac{1}{3}$）^x-a]²+3-a²，
∵f（x）定義域為[-1，1]，
∴g（x）定義域也為[-1，1]，
令t=（$\frac{1}{3}$）^x，由-1≤x≤1，
∴$\frac{1}{3}$≤t≤3，
∴g（x）=ϕ（t）=（t-a）²+3-a²，
對稱軸為t=a，
①當(dāng)a≥3時，函數(shù)ϕ（t），在[$\frac{1}{3}$，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴當(dāng)t=3時，函數(shù)ϕ（t）取得最小值為ϕ（3）=12-6a，
∴h（a）=12-6a；
②當(dāng)a≤$\frac{1}{3}$時，函數(shù)ϕ（t）在[$\frac{1}{3}$，3]上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{3}$時，函數(shù)ϕ（t）取得最小值為ϕ（$\frac{1}{3}$）=$\frac{28}{9}$-$\frac{2a}{3}$，
∴h（a）=$\frac{28}{9}$-$\frac{2a}{3}$；
③當(dāng)$\frac{1}{3}$＜a＜3時，函數(shù)ϕ（t）在對稱軸t=a處取得最小值為ϕ（a）=3-a²，
∴h（a）=3-a²．
綜上所述，h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{12-6a，a≥3}\\{3-{a}^{2}，\frac{1}{3}＜a＜3}\\{\frac{28}{9}-\frac{2a}{3}，a≤\frac{1}{3}}\end{array}\right.$

點評 本題考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，考查了函數(shù)的最值的應(yīng)用．函數(shù)的零點等價于對應(yīng)方程的根，等價于函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，解題時要注意根據(jù)題意合理的選擇轉(zhuǎn)化．本題求函數(shù)的最值的時候運用了換元法求解，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，對于二次函數(shù)要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，注意抓住二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，以及判別式的考慮．屬于中檔題．