Question

向平面區(qū)域{（x，y）|0≤x≤

2

，0≤y≤1}內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在曲線y=

x3(0≤x≤1) 2-x2 (1≤x≤ 2 )

下方的概率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,簡單線性規(guī)劃

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：求出對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：平面區(qū)域{（x，y）|0≤x≤

2

，0≤y≤1}對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)殚L方形OABC，對(duì)應(yīng)的面積S=1×

2

=

2

，
曲線y=

x3(0≤x≤1) 2-x2 (1≤x≤ 2 )

下方對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖：
三角形ODF為等腰直角三角形，面積S △ODF=

1

2

×1×1=

1

2

，
扇形DOC的面積S=

45

360

×π×(

2

)2=

π

4

，
則曲邊圖形CDF的面積S=

π

4

-

1

2

，
曲邊ODF的面積S=

∫

1 0

x3dx=

1

4

x4

|

1 0

=

1

4

，
故陰影部分的面積S=

π

4

-

1

2

+

1

4

=

π

4

-

1

4

，
則所求的概率P=

π 4 - 1 4

2

=

2

2

（

π

4

-

1

4

），
故答案為：

2

2

（

π

4

-

1

4

）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何概型的概率計(jì)算以及曲邊圖形的面積的求法，根據(jù)條件求出對(duì)應(yīng)的圖形的面積是解決本題的關(guān)鍵．