Question

14．設(shè)c＞0，命題P：y=log_cx是減函數(shù)；命題Q：2^x-1+2c＞0對(duì)任意x∈R恒成立．若P或Q為真，P且Q為假，試求c的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求出命題P，Q成立的等價(jià)條件，結(jié)合復(fù)合命題真假之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：若y=log_cx是減函數(shù)，則0＜c＜1，
即P真：0＜c＜1，
若2^x-1+2c＞0對(duì)任意x∈R恒成立，
則2c＞1-2^x，
∵2^x＞0，∴-2^x＜0，1-2^x＜1，
即2c＞1，則$c＞\frac{1}{2}$，
即Q真：$c＞\frac{1}{2}$，
若P或Q為真，P且Q為假，
則P，Q一真一假，
若P真Q假，則$\left\{\begin{array}{l}{0＜c＜1}\\{0＜c≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，則0＜c≤$\frac{1}{2}$，
若Q真P假，則$\left\{\begin{array}{l}{c＞\frac{1}{2}}\\{c≥1}\end{array}\right.$，則c≥1，
綜上c的取值范圍$（0，\frac{1}{2}]∪[1，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合命題真假關(guān)系的判斷和應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出命題的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．