Question

7．如圖所示，流程圖給出了無(wú)窮等差整數(shù)列{a_n}滿足的條件，a₁∈N₊，且當(dāng)k=5時(shí)，輸出的S=-$\frac{5}{9}$，當(dāng)k=10時(shí)，輸出的S=-$\frac{10}{99}$．（其中d為公差）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在最小的正數(shù)m，使得?n∈N₊，都有T≤m成立？若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由圖表結(jié)合裂項(xiàng)相消法求得S_k，再由已知可得a₁a₆=-9且a₁a₁₁=-99，求出首項(xiàng)和公差后得答案；
（2）由圖表可得T_k，然后利用錯(cuò)位相減法求得T_k，得到${T}_{k+1}-{T}_{k}=\frac{9-2k}{{2}^{k}}$，可得：$（{T}_{k}）_{max}={T}_{5}=\frac{227}{16}$，即m=$\frac{227}{16}$．

解答 解：（1）根據(jù)框圖：
${S}_{k}=\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{k}{a}_{k+1}}$=$\frac{1}x7tahuj（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{k}}-\frac{1}{{a}_{k+1}}）$=$\frac{k}{{a}_{1}{a}_{k+1}}$．
∴有a₁a₆=-9且a₁a₁₁=-99，
解得a₁=9，d=-2，
∴a_n=11-2n．
（2）事實(shí)上，${T_k}={a_1}•{2^0}+{a_2}•{2^{-1}}+{a_3}•{a^{-2}}+…+{a_k}•{2^{1-k}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{k}={a}_{1}•{2}^{-1}+{a}_{2}•{2}^{-2}+…+{a}_{k}•{2}^{-k}$，
兩式作差得：$\frac{1}{2}{T}_{k}={a}_{1}+d（{2}^{-1}+{2}^{-2}+…+{2}^{1-k}）-{a}_{k}•{2}^{-k}$，
∴${T}_{k}=14+\frac{2k-7}{{2}^{k-1}}$，
從而${T}_{k+1}-{T}_{k}=\frac{9-2k}{{2}^{k}}$，
得：$（{T}_{k}）_{max}={T}_{5}=\frac{227}{16}$，即m=$\frac{227}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查程序框圖，考查學(xué)生讀取圖表的能力，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬中高檔題．