Question

已知直線x-2y+2=0經(jīng)過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，點S是橢圓上位于x軸上方的動點，直線AS，BS與直線l：x=4分別交于M，N兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）設直線AS，BS的斜率分別為k₁，k₂，求證k₁•k₂為定值；
（ⅱ）求線段MN的長度的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）利用直線x-2y+2=0經(jīng)過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點A和上頂點D，求出A，D的坐標，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）（�。┰O點S的坐標為（x₀，y₀），可得k1•k2=

y0

x0-2

•

y0

x0+2

=

y02

x02-4

，利用點S在橢圓上，即可證明k₁•k₂為定值；
（ⅱ）設直線AS的方程為y=k₁（x+2），可得M的坐標，利用k1•k2=-

1

4

，可得直線BS的方程，從而可得N的坐標，求出MN，利用基本不等式，即可求線段MN的長度的最小值．

解答： （Ⅰ）解：∵直線x-2y+2=0經(jīng)過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點A和上頂點D，
∴A（-2，0），D（0，1），
∴橢圓 C的方程為

x2

4

+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）（�。┳C明：設點S的坐標為（x₀，y₀），
∴k1•k2=

y0

x0-2

•

y0

x0+2

=

y02

x02-4

…（5分）
∵點S在橢圓上，
∴

x02

4

+y02=1，∴x02-4=-4y02
∴k1•k2=-

1

4

…（7分）
（ⅱ）解：設直線AS的方程為y=k₁（x+2），則M（4，6k₁）且k₁＞0…（9分）
∵k1•k2=-

1

4

∴直線BS的方程為y=-

1

4k1

(x-2)…（10分）
∴N(4，-

1

2k1

)，…（11分）
故|MN|=6k1+

1

2k1

，…（12分）
∴|MN|=6k1+

1

2k1

≥2

6k1× 1 2k1

=2

3

，…（13分）
當且僅當6k1=

1

2k1

，即k1=

3

6

時等號成立，
∴k1=

3

6

時，線段MN的長度取得最小值為2

3

．…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線方程，考查基本不等式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．