Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=2

5

，PA=4，PB=2，PC=4，∠BPC=60°，PA⊥BC，E為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PA⊥PC；
（Ⅱ）求二面角P-EC-B的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由勾股定理得PA⊥PB，又PA⊥BC，所以PA⊥平面PBC，由此能證明PA⊥PC．
（Ⅱ）在平面PAB內(nèi)，過點(diǎn)P作PF⊥AB，F(xiàn)為垂足，則PF⊥平面ABC．在Rt△EBC中，過F作FG⊥EC，G為垂足，連接PG，則∠PGF就是二面角P-BC-B的平面角，由此能求出二面角P-EC-B的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA=4，PB=2，AB=2

5

，
∴PA²+PB²=AB²=20，∴PA⊥PB．…（2分）
又∵PA⊥BC，PB∩BC=B，∴PA⊥平面PBC，…（4分）
故PA⊥PC．…（6分）
（Ⅱ）解：如圖，在△PBC中，∵PB=2，PC=4，∠BPC=60°，
∴BC²=2²+4²-2×2×4cos60°=12，∴BC=2

3

，
∴PB²+BC²=PC²，∴PB⊥BC．
又PA⊥BC，PB∩PA=P，∴BC⊥平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．…（8分）
在平面PAB內(nèi)，過點(diǎn)P作PF⊥AB，
F為垂足，則PF⊥平面ABC．
在Rt△EBC中，過F作FG⊥EC，G為垂足，連接PG，
則∠PGF就是二面角P-BC-B的平面角．…（10分）
又PF=

4 5

5

，
在Rt△PFB中，BF=

22-( 4 5 5 )2

=

2 5

5

，
∴EF=BE-BF=

3 5

5

．
而B點(diǎn)到EC的距離為d=

5 •2 3

5+12

=2

15 17

，
∴GF=

EF

BE

d=

6

5

15 17

．…（12分）
設(shè)所求二面角大小為θ，則tanθ=

PF

GF

=

2 51

9

，
∴二面角P-EC-B的正切值為

2 51

9

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．