Question

拋物線y²=2px（p＞0）與直線y=x+1相切，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是拋物線上兩個動點，F(xiàn)為拋物線的焦點．
（1）求p的值；
（2）若直線AB與x軸交于點Q（-1，0），且|QA|=2|QB|，求直線AB的斜率；
（3）若AB的垂直平分線l與x軸交于點C，且|AF|+|BF|=8，求點C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）直線代入拋物線方程，利用△=0，即可求p的值；
（2）設(shè)直線AB的方程為x=my-1，代入拋物線方程，根據(jù)|QA|=2|QB|，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求直線AB的斜率；
（3）拋物線y²=4x的準(zhǔn)線x=-1且|AF|+|BF|=8，由定義得x₁+x₂+2=8，則x₁+x₂=6，由C在AB的垂直平分線上，從而|AC|=|BC|，即可求點C的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）由

y2=2px  (p＞0) y=x+1

得：y²-2py+2p=0（p＞0）有兩個相等實根
即△=4p²-8p=4p（p-2）=0得：p=2為所求
（2）設(shè)直線AB的方程為x=my-1
由

y2=4x x=my-1

得y²-4my+4=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由|QA|=2|QB|得y₁=2y₂，又

y1+y2=4m y1y2=4

，聯(lián)立解出m=±

3

4

2

故直線AB的斜率k=

1

m

=±

2

3

2

（3）拋物線y²=4x的準(zhǔn)線x=-1且|AF|+|BF|=8，由定義得x₁+x₂+2=8，則x₁+x₂=6
設(shè)C（m，0），由C在AB的垂直平分線上，從而|AC|=|BC|
則(x1-m)2+

y

2 1

=(x2-m)2+

y

2 2

(x1-m)2-(x2-m)2=-

y

2 1

+

y

2 2

（x₁+x₂-2m）（x₁-x₂）=-4（x₁-x₂）
因為x₁≠x₂，所以x₁+x₂-2m=-4
又因為x₁+x₂=6，所以m=5，則點C的坐標(biāo)為（5，0）．

點評：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．