Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，底面△ABC是邊長為a的正三角形，側(cè)棱長為

2

2

a，點D在棱A₁C₁上．
（1）若A₁D=DC₁，求證：直線BC₁∥平面AB₁D；
（2）求AB₁與側(cè)面BCC₁B₁所成角的大��；
（3）請在棱A₁C₁確定點D的位置，使二面角A₁-AB₁-D的平面角為

π

4

，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連接A₁B交AB₁于E點，由A₁D=DC₁，結(jié)合三角形中位線定理可得DE∥BC₁，進而根據(jù)線面平行的判定定理得到直線BC₁∥平面AB₁D；
（2）取BC中點F，連DF，B₁F，∠DB₁F為DB₁與平面BCC₁B₁所成角．在直角△DB₁F中求解即可．
（3）連接MN，過A₁作A₁F⊥AB₁于F．由（2）的結(jié)合可得∠MND為二面角A₁-AB₁-D平面角，設，由二面角A₁-AB₁-D平面角的正切值的大小為1，我們易構(gòu)造關于λ的方程，解方程求出λ的值，即可指出點D的位置．

解答： 解：（1）證明：連接A₁B交AB₁于E點，
在平行四邊形ABB₁A₁中，有A₁E=BE，又A₁D=DC₁
∴DE為△A₁BC₁的中位線，從而DE∥BC₁，
又DE?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，
∴直線BC₁∥平面AB₁D
（2）取BC中點F，連AF，B₁F
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，底面△ABC是邊長為a的正三角形，
又AC=a，BC=a，AB=a知AF⊥BC，∴AF⊥面BCC₁B₁
又F為BC中點，∴DF=

3

2

a，⊥面BCC₁B₁
∴AB₁在平面BCC₁B₁內(nèi)的射影為FB₁
∴AB₁與平面BCC₁B₁的所成角為∠AB₁F
在RT△FB₁A中，B₁B=

2

2

a，BF=

( 1 2 a)2+( 2 2 a)2

=

3

2

a，
∴∠AB₁F=45°．
（3）連接MN，過A₁作A₁F⊥AB₁于F．
由（2）中的作法可知：∠MND為二面角A₁-AB₁-D平面角，
設

A1D

A1C1

=λ，則

A1M

A1B1

=

λ

2

，
則可得DM=

3 a

2

λ，A1F=

3

3

a，

MN

A1F

=1-

λ

2

⇒MN=

3 a

3

（1-

λ

2

），
∴tanθ=

DM

MN

=

3 a 2 λ

3 a 3 (1- λ 2 )

=-3+

6

2-λ

．∴-3+

6

2-λ

=1⇒λ=

1

2

即點D在棱A₁C₁上，且

A1D

A1C1

=

1

2

時，
二面角A₁-AB₁-D平面角的正切值的大小為

π

4

．

點評：本題考查的知識點是與二面角有關的立體幾何綜合體，直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，其中（1）的關鍵是證得DE∥BC₁，（2）解題的關鍵是找出直線與平面所成角；（3）解題的關鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)造關于λ的方程．