Question

4．已知f（x）=cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$，
（1）寫出f（x）圖象的對稱中心的坐標(biāo)和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）△ABC三個內(nèi)角A、B、C所對的邊為a、b、c，若f（A）+1=0，b+c=2．求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）化簡得f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$），令2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，解出對稱中心，令-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，解出單調(diào)增區(qū)間；
（2）由f（A）+1=0解出A，由b+c=2得b²+c²=（b+c）²-2bc=4-2bc，代入余弦定理得a²=4-3bc，即bc取得最大值時，a²取得最小值．

解答 解：（1）f（x）=cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=cos（2x+$\frac{π}{3}$），
令2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，解得x=$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，
∴f（x）的對稱中心為：（$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，0），
令-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，解得-$\frac{2π}{3}$+kπ≤x≤-$\frac{π}{6}$+kπ，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-$\frac{2π}{3}$+kπ，-$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z．
（2）∵f（A）+1=0，即cos（2A+$\frac{π}{3}$）+1=0，∴cos（2A+$\frac{π}{3}$）=-1．
∵0＜A＜π，∴$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{7π}{3}$，
∴2A+$\frac{π}{3}$=π，∴A=$\frac{π}{3}$．
∵b+c=2，∴b²+c²=（b+c）²-2bc=4-2bc
∴a²=b²+c²-2bc•cosA=4-3bc≥4-3（$\frac{b+c}{2}$）²=1．
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時，a取得最小值1．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換和性質(zhì)，余弦定理得應(yīng)用，是中檔題．